- System이 linear, time invartiant일 때, unit impulse responses는 서로의 모든 time-shifted version 이다.
- 일반적으로 0인덱스를 생략하여 다음과 같이 정의
- LTI 시스템에 대한 Convolution sum은 다음과 같다
- 위의 식은 다음과 같이 표현할 수도 있다. convolution sum(= superposition sum):
Introduction to "Continuous" Convolution
- Discrete system에 대한 convolution sum은 "sifting priciple"에 기반을 두고 있고, 입력 신호는 스케일링되고 이동된 임펄스 함수들의 superposition(linear combination)으로 표현
Signal "Staircase" Approximation
- continuous signal은 얇고 지연된 선형 결합으로 근사 가능
- 펄스(직사각형)은 단위 적분을 가지며, 다음과 같이 표현 가능
- t의 모든 값에 대해 한 개의 펄스만 0이 아니다.
=> CT impulse의 "sifiting property"/ 무한히 많은 임펄스 δ(t−τ)가 존재
Continuous Time Convolution
- 입력 신호가 펄스 신호의 크기 조정 및 이동 버전의 합으로 근사될 수 있다고 가정
- Linear 시스템의 출력신호 y헷은 h헷의 superposition(중첩)
Linear Time Invariant Convolution
- 모든 임펄스 응답은 단순히 시간 이동된 버전
- LTI 시스템의 convolution: Convolution integra(superposition integral)
- 시스템이 존재하여 임펄스 응답 h1(t)에 대해 y(t) = x(t)가 성립할 수 있을까?
- 목표는 "inverse systme"을 계산 하는 것. 이를 통해 다음이 성립
The Response of LTI Systems to Complex Exponentials
- LTI시스템에서 신호를 기저 신호의 선형 결합(linear combinations of casis signals)으로 표현하는 것이 유리
basis signals 속성 1. 넓고 유용한 신호 집합을 구성하는데 사용될 수 있다. 2. 각 basis 신호에 대한 LTI 시스템의 응답은 구조가 단순하여, 기저 신호의 선형 결합으로 구성된 신호에 대한 시스템 응답을 쉽게 표현
- The response of an LTI System to a complex exponential input은 동일한 complex exponential 형태를 가지되 단지 진폭만 변화
Eigenfunction of LTI Systems
The Response of LTI Systems to Complex Exponentials
EX)
Linear Combinations of Harmonically Related Complex Exponentials
- signal이 periodic하다면, 양의 값 T에 대해 다음을 만족
- 기본 주기 T와 기본 frequency(주파수)
- 두가지 기본 주기 신호
- harmonically related complex exponentials
- 이러한 신호 각각은 주기 T를 가진다.
Fourier series representation(푸리에 급수 표현)
Recall: Exponenetial and Sinusoidal Signal Properties
EX)
Fourier series of real periodic signals(실수 주기 신호의 푸리에 급수)
일반적인 실수 주기 푸리에 급수 형태
EX)
Determination of the coefficients ak(계수 ak의 결정)
- k != n일 경우: 주기 T/ |k-n|을 가지는 사인 곱 신호이므로 적분값은 0 - k=n일 경우: 적분 내의 항은 1이므로 적분값은 T
Fourier series of a periodic continuous-time signal(연속 시간 주기 신호의 푸리에 급수)
- x(t)가 FSR(푸리에 급수 표현)을 가진다면, 즉 linear combination of harmonically related complex exponentials로 표현 된다면
- 각 계수(coefficients) ak:
- Periodic CT의 Fourier series => Fourier series coefficients(The spectral coefficients): 계수 집합 {ak}
EX)
Convergence of the Fourier series(푸리에 급수의 수렴 조건)
- 주기 신호 x(t)가 FSR을 가지려면 적절한 푸리에 계수 ak를 구할 수 있어야 함
- 적분이 발산하거나, ak가 무한대일 수 있으며, ak가 유한한 경우에도 무한 급수의 결과가 원래 신호로 수렴하지 않을 수 있다.
- Gibb's Phenomenon: 특정 주기적 신호에서 불연속점 근처에서 진동이 발생하며, 주파수 성분을 늘려도 이 진폭은 줄어들지 않고 특정 높이에서 유지
Properties of CTFS
x(t)가 주기 T를 가진다고 할때, x(t)의 푸리에 급수 계수들이 ak라면 다음과 같은 표ㅕ기법 사용
Linearity - x(t)와 y(t)가 주기 T를 가지며 각각 ak, bk로 표현될 때,
Time Shifiting - 주기 T는 보존된다
Time reversal - 주기 T는 보존된다
Time scaling - 주기가 바뀜/ 푸리에 계수는 변하지 않지만, 기본 주파수 표현(FSR)은 변경
Multiplication - x(t)와 y(t)가 주기 T를 가질때
Conjugation and conjugatate symmetry(개념 정도만 check)
Parseval's Relation
- Total average power in a periodic signal = the sum of the average powers in all of its harmonic components
# Summary of the Properties of the CTFS
Fourier series representation of descrete-tiem periodic signals
- DT signal x[n]은 N주기로 주기성을 따른다
- 기본 주기(Fundamental frequency) = 가장 작은 양의 정수 N - 주기 N을 가지는 모든 DT complex exponenetial signals의 집합은 다음과 같다.
Increasing the frequency: continuous time
- CT sinusoid: 주파수가 증가할수록, 주기 시간당 진동 횟수가 증가
DT cosine
=> DT sinusoids는 다음 조건을 만족할 때만 주기성을 가진다.
(T=N/K를 만족해야만 periodic) - 모든 discrete sinusoids가 periodic한건 아니다!
Linear combinations of harmonically related complex exponentials
- Harmonically related complex exponentials
- 위 신호의 linear combination
- k는 연속되는 N개의 정수 값, k의 시작값은 임의로 설정 가능
- 최종 방정식은 DT Fourier series/ ak는 Fourier series coefficients
Determination of coefficients ak
- 기본 주기가 N인 주기 신호 x[n]의 계수 ak를 결정하는 방법
- 주기 complex exponential의 한 주기 동안의 값의 합은, complex exponential가 상수인 경우를 제외하고는 0입니다.
Fourier series of a periodic discrete-time signal
- x[n]이 FRS을 가진다면
- {ak}는 x[n]의 푸리에 급수 계수(스펙트럼 계수)
=> CT: 계수 주기성 X/ 신호 주기성 O => DT: 계수 주기성 O/ 신호 주기성 O
CT and DT periodic signals
- x[n]이 주기성을 가지려면 2π/ w0가 정수이거나 정수의 비율이어야 함
Discrete-time Sinusoids
- 일반적인 Discrete-tiem Sinusoids:
=> 주파수 Ω가 π의 유리수 배일 때만 주기적! / 그렇지 않으면 non-periodic
EX)
- Ω가 증가할수록 진동 속도가 증가/ 특정 지점에 도달하면 다시 감소했다가, 다시 증가하며 반복적인 패턴을 보임
# DTFS Properties
Multiplication: 주기 N을 가지는 두 신호 x[n]과 y[n]이 있을때, 푸리에 계수 dk
- periodic convolution: 합산 변수 N개의 연속된 샘플로 제한 - aperiodic convolution: 합산 범위가 무한
First difference: x[n]이 주기 N을 가지면, y[n]도 주기 N을 가진다
x[n]의 푸리에 계수
Parseval's relation for DT periodic signals
Fourier series and LTI Systems
- FSR은 모든 DT 주기 신호와 사실상 모든 주기 CT 신호로 구성할 수 있다.
- s와 z가 복소수일때 H(s)와 H(z)는 시스템의 함수로 간주 - frequency response:
CT 주기 신호
- LTI 시스템에 이 신호를 입력으로 사용하면 출력은
- 따라서 y(t)는 x(t)와 동일한 기본 주기를 가지며 시스템은 각 주파수에서 주파수 응답 값에 의해 곱해지는 효과
x[n]이 DT LTI 시스템에 입력으로 들어갈때, 그 응답은
- 따라서 y[n]은 x[n]과 같은 주기를 가지며, y[n]의 k번째 푸리에 계수는 x[n]의 k번째 푸리에 계수에 주파수 응답값 H를 곱한 값
