- 시간이나 위치와 같은 변수가 변화하는 패턴 - 정보를 전달하는 역할 - 하나 이상의 독립 변수를 함수로 표현
Continuous-Time Signals(연속 시간 신호)
- 대부분의 현실 세계 신호 - 시간 간격이 유한할 수도 무한할 수도 있다
Discrete-Time Signals(이산 시간 신호)
- 샘플링된 신호 - 시간 축에서 불연속적인 간격으로 정의 n:정수값
Sampled continuous signal
K:샘플링 주기
Periodic Signals(주기 신호)
일정한 주기 T후에 반복되는 신호
Even and Odd Signals(짝/홀 신호)
EvenOdd
=> 어떠한 signal도 Even과 Odd signal의 합으로 나타낼 수 있다
Exponential and Sinusoidal Signals(지수 및 사인 신호)
(real)Exponential Signal
- (complex) Exponential => 동일한 형태지만 a와 C가 complex numbers
Step and pulse Signals(단계 및 펄스 신호) ⭐
- Step Signals: 특정 시간까지 0을 유지하다가 그 이후에 일정한 값을 가짐 - Pulse Signals: 거의 전 구간에서 0이며 특정 순간에만 스파이크가 나타남
System
- 입력 신호를 받아 다른 신호로 변환하는 역할 - 일반적으로 시스템은 출력신호와 입력 신호의 비율로 나타낼 수 있다.
Continuous-Time Systems(연속 시간 시스템)
- 대부분의 연속 시간 시스템은 미분 방정식을 통해 표현 - 연속 신호가 어떻게 변환되는지 보여줌 EX) 은행 계좌 잔고 변화나 이산 자동차 속도 시스템
Discrete-Time Systems(이산 시간 시스템)
- 대부분의 이산 시간 시스템은 차분 방정식을 통해 표현 - 이산 신호가 어떻게 변환되는지 보여줌 EX) 은행 계좌 잔고 변화나 이산 자동차 속도 시스템
System의 속성 ⭐
1. Casual: 출력은 해당 시점까지의 입력 값에만 의존/ 이때까지 들어온 input으로 output계산
2. Linear: 입력 신호의 선형 조합에 대한 출력 신호가 동일한 선형 조합으로 나타남
3. Time-invariance: 시스템의 특성은 시간이 지나도 변하지 않으며, 동일한 입력에 동일한 출력을 제공
=> 예측이 쉬워진다!
Signals and Systems Related
- 특정 신호를 복원하거나 향상시키기 위해 시스템을 설계
- 신호에서 특정 정보를 추출하는 시스템을 설계
"Electrical" Signal Energy and Power
- 즉각적인 전력 power(W): 전압 X 전류
- 주어진 시간 동안 총 에너지 energy(J):
- 전력의 평균 power(W):
Generic Signal Energy and Power
- 주어진 시간동안 CT signal x(t)의 Total Energy:
- 주어진 시간동안 DT signal x[n]의 Total Energy:
=> Average power은 CT는 (t2-t1)으로 나눈다. => Average power은 DT는 (n2-n1+1)로 나눈다.
Energy and Power over Infinite Time
1. Finite total energy (and zero average power) = 유한한 총 에너지를 가지며 평균 전력이 0인 신호
2. Finite average power (and infinite total energy) = 유한한 평균 전력을 가지며 무한한 총 에너지를 가진 신호
- 특정 시간의 출력은 현재 및 과거 값에만 의존 - 미래의 입력 값에 의존하지 않기 때문에 예측적이지 않음(non-anticipative) - 두 입력 신호가 특정 지점 t0 또는 n0까지 동일하다면, Caual 시스템의 출력도그 지점까지 동일해야 함
EX) 적분: y[n]은 오직 x[n], x[n-1]등의 과거 값에만 의존
System Stability
- 작은 입력 신호가 발산하지 않는 응답을 유도하는 시스템 - 입력 신호가 유계(bounded)이면, 출력 신호도 유계여야 하며, 시스템이 안정적이면 EX) 은행 계좌의 DT 시스템: 무한히 증가하므로 불안정
Definition of Time Invariance
- 시스템의 동작과 특성이 시간이 지나도 변하지 않는다. - 동일한 입력 신호가 다른 시간에 입력되더라도 동일한 결과를 기대할 수 있다.
- CT 시스템 = time-invariant
- DT 시스템 = time-varying
System Linearity
Superposition
- 입력 신호 x[n]이 다른 신호 xk[n]들의 선형 합으로 구성되어 있다고 가정
- linear system response:
- CT와 DT linear System에서 모두 성립 - Linear System의 경우 항상 0인 입력은 항상 0인 출력을 생성
Introduction to Convolution
- 입력 신호를 받아 출력 신호를 반환하는 연산 - 시스템의 단위 임펄스 응답 h[n]에 기반
- Convolution의 기본 아이디어: 시스템의 간단한 입력 신호에 대한 응답을 사용하여 더 복잡한 신호에 대한 응답을 계산하는 것. - LIT시스템에서 이는 Superposition property를 통해 가능
Discrete Impulses and Time Shifts
- DT 임펄스의 무한 집합을 사용하여 모든 신호를 표현 가능 - 임의의 discrete input signal x[n]은 단위 임펄스 신호들의 선형 합으로 표현
- 신호는 다음과 같이 표현
- 일반적으로 Discrete signal은 다음과 같이 표현
EX)
Linear, Time Varing Systems
- 일반적인 입력 신호 x[n]에 대한 시스템의 응답:
- 시스템의 출력 신호는 Convolution의 합으로 표현:
LTI 시스템 (Linear Time Invariant Systems)
x(t)가 입력된 시스템의 출력이 y(t)일 때, x(t-t0)의 입력에 대한 출력은 y(t)를 t0만큼 지연시킨 y(t-t0)와 같은 시스템 => 즉, 입력을 t0 만큼 지연시켜서 입력시켰을 때 얻는 출력과 지연시키지 않고 입력시켰을 때 얻은 출력을 직접 t0만큼 지연시킨 결과가 같음을 의미
- LIT 시스템에 대한 Convolution 합:
- Convolution sum(Superposition sum):
