5주차-Projective Geometry

REVIEW

• Pinhole camera

- focus가 제대로 맞는 상태에서의 Image Plane

• From retina plane(Image plane) to images

- Sampling => Quntization

• Coordinate systems

1. Off set
- 원점을 맞춘다.

2. From metrix to pixels
- 단위를 맞춘다. (metric 단위에서 pixel 단위로)

- α = fk 
- β = fl 
=> 보통 k와 l은 같은 값 (정사각형 pixel) 

Q) Is this projection transformation linear?

최종 형태

A) linear하지 않아 matrix format으로 나타내기 어렵다. => Homogenuous coordinate를 이용하자!

 

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• Homogeneous coordinate

- Projective 변환을 linear(선형)으로 표현하기 위해 사용하는 좌표계
- 2차원은 3차원으로, 3차원은 4차원으로
- 마지막 차원에는 "1"
==> linear system으로 표현하기 용이해진다.

• Eulcid => Homogeneous

E => H

• Homogeneous => Euclid

H => E

• Projective transformation in the homogeneous coordinate system

- x,y,z와 x',y'의 관계를 linear systme으로 나타낼 수 있다.

 

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• Camera matrix

• Skewnes

- 가상의 Image plane과 camera sensor plane을 약간 틀어지게 놨다. (각도 Θ)

• Degrees of freedom of K

- 5 DOF (α, β, Cx, Cy, Θ)
=> 보통 α = β, Cx, Cy, (Θ는 잘 고려 안함) : 사실상 3개만 고려한다.

 

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• Canonical projective transformation

- 기본형

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• 2D 

• 2D Translation 

- 직선운동

# DOF = 2

• 2D Scaling 

- 크기 변환

# DOF = 1 

• 2D Rotation

- 중심 기준으로 회전

# DOF = 1

• 2D Scale + Rotation + Translation

- 2D => 2D

 

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• 3D

2D=>2D : 3x1=>3x1 matrix size 3x3

3D=>3D : 4x1=>4x1 matrix size 4x4

• 3D Translation

# DOF = 3

• 3D Rotation

# DOF = 3

• 3D Translation + Rotation

 

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• World reference system

• Projective transformation

위에 식과 같은 식

# DOF = 11(5(I) + 6(E))

풀어쓰면 다음과 같다.

 

• Horizon line (= Vanishing line, line at infinity)

- Properties of projective transformation
- Euclidian으로는 표현 X
=> Homogeneous로 구별해서 표현 가능 

 

• Projective camera

가장 단순화 version

 

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투영 모델 종류

• Canonical Projective Transformation

 

• Weak Perspective Projection(= Para perspective)

- 객체가 멀고, 깊이 변화가 적은 경우 depth를 일정한 값(z0)으로 가정한다.
- 깊이에 따라 전체적으로 일정한 축소율로 투영된다. 

P,Q,R이 다 다른 위치에 있지만 같은 plane에 붙어 있는 것처럼 보인다.

 

# Perspective vs Weak perspective

Perspective vs Weak perspective

- Perspective에서 맨 마지막만 0001로 바꾸면 Weak perspective

• Orthography (affine) projection

- z는 관계없이 다 버리고 x는 x로, y는 y로
- 카메라 중심과 이미지 평면이 무한히 멀리 있다고 가정

 

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• 각 model들의 장단점

[Weak perspective]

- object가 멀리 떨어져 있는 것에 비래 작을 때(Scene이 작을 때) 계산하기 쉽다.
=> 제일 앞에 있는 나무와 제일 뒤에 있는 나무간의 거리가 카메라에서 나무들이 떨어져있는 거리에 비해 좁을때 
=> 하나는 멀고 하나는 좁을 때 사용 X

[Pinhole perspective]

- 3D-to-2D mapping시에 더 정확하다.